内波是发生在层结稳定海洋中十分普遍的一种波动现象。内波从生成到破碎的过程对于海洋中能量的传递具有非常重要的作用(Wunsch et al，2004)。正压潮流经过变化的海底地形时将激发强烈的内潮波(Munk et al，1998)，因此大陆架边缘是内潮波生成的重要源地之一。陆架上内波生成问题的研究对于大陆架上环境要素的分布、海洋工程和水下航行活动都具有十分重要的意义(Shanks，1987; 汪嘉宁等，2012)。

陆架地形的坡度S_t和内波射线的坡度S_w的比值是控制内波生成的一个重要条件(Garrett et al，2007)。当不考虑旋转影响时，内波射线的斜率S_w满足内波频散关系(式1)

其中ω为内波频率，浮力频率$N=\sqrt{-\frac{g}{{{\rho }_{0}}}\frac{\text{d}\bar{\rho }}{\text{d}z}}$。

陆架地形根据S_t/S_w比值不同可以分为: 超临界地形(S_t/S_w>1)、临界地形(S_t/S_w=1)和亚临界地形(S_t/S_w<1)。在临界地形条件下，内波引起水质点的运

动轨迹与正压潮流在陆架地形上引起的水质点运动轨迹一致，因此内波和正压潮流在陆架地形上发生共振，此时生成的内波能量最强，这种内波生成方式被称为内波共振生成机制(Gerkema et al，2004; Gostiaux et al，2007; Jia et al，2014)。Zhang等(2008)通过实验发现共振内波的强度随着共振区域长度的增加而增强，同时在陆架地形上产生了内波的强流区。在Zhang等(2008)的实验中由于陆架地形是光滑的，因此内波可以在整个陆架区域发生共振。但是在真实的海洋中，陆架上分布着众多的水下沙丘和凹凸地形(Ashley，1990)。以南海大陆架为例，Reeder等(2011)发现了振幅为16m、波长为350m的水下沙丘。这些地形结构的发现表明真实海洋中的陆架并不是光滑的，而应该被看成是由光滑的陆架地形和不同尺度的粗糙地形叠加而成。这些粗糙地形一方面将对陆架上的共振内波产生影响，另一方面它们可以造成陆架的坡度在小范围内发生剧烈变化。当陆架地形坡度变化十分剧烈时，内波将从陆架地形上的间断点生成(Baines，1982; Wang et al，2012)，从而在陆架上出现新的内波生成源点。综上所述粗糙地形必将对内波的时空结构产生重要影响(Dale et al，2015; van Haren et al，2015)。

本文通过实验研究粗糙地形对陆架上内波生成的影响。为了比较光滑陆架地形和粗糙陆架地形生成内波的差异，我们将同一地形的一侧设置为光滑平面，另一侧添加了不同尺度的粗糙地形。使用粒子图像测速法(PIV)(Dalziel et al，2007)对内波的速度场进行测量，利用内波的速度场计算了内波能量的空间分布，定量比较了由粗糙陆架地形和光滑陆架地形两种条件下生成内波的差异，并讨论了粗糙地形尺度对内波生成的影响。

1 实验与方法 1.1 实验设置

本文的实验是在中国海洋大学物理海洋重点实验室的二维内波水槽中进行的，二维水槽长500cm，宽15cm，高40cm。为了便于描述实验现象，我们定义水槽的长度方向为x轴，宽度方向为y轴，高度方向为z轴。实验中使用的陆架地形模型的宽度与水槽宽度相等，内波流速在y方向不发生变化，流动具有良好的二维性。我们的实验主要对x-z平面内的内波流速进行观测，如图 1(a)所示。我们利用经典的“双缸法”(Hill，2002)放置了23cm的线形分层水并通过电导率仪对分层流体的密度进行测量，测量结果如图 1b和1c所示，线形分层良好。两次实验的浮性频率N分别为1和0.94。

实验中用到的三角地形长20.8cm，高9.5cm，地形坡度为24.5°。为了分别模拟光滑和粗糙的陆架地形，我们将地形的一侧制作成光滑平面，另一侧添加了不同尺度的粗糙地形。粗糙地形用不同振幅的三角地形进行模拟，三角地形的振幅分别为1cm和2cm，角度均为45°，如图 1b，1c所示。为了方便下文进行比较，本文将振幅为1cm的三角地形称为小粗糙地形，将振幅为2cm的三角地形称为大粗糙地形。实验时模型地形被放置在一块薄PVC板上，板子通过金属件与驱动装置相连。驱动装置由电机和偏心圆柱组成，偏心圆柱可以使地形产生正弦运动，以此模拟海洋中的正压潮流。为了接近真实海洋中的正压潮流，偏心圆柱的偏心距定为0.5cm，远小于模型地形的水平尺寸。在实验中我们将坐标系建立在模型地形的中心位置，由此可以得到正压潮流的流速U(t)满足关系式(2)

其中A为地形的最大位移，即偏心圆柱的偏心距，ω为振荡圆柱的圆频率，Φ₀为流速的初始相位。在实验中我们将零时刻定义为正压潮流由x轴正方向转为负方向的时刻，因此Φ₀=。两次实验的圆频率分别为ω₁=0.08和ω₂=0.07。根据内波频散关系式(1)，两次实验中内波射线的理论角度为26.5°和25°，均满足共振地形的临界条件(Zhang et al，2008)。

我们利用粒子图像测速法(PIV)(Dalziel et al，2007)对内波的速度场进行定量测量。其中PIV系统主要由光源系统、示踪粒子和记录粒子运动的成像系统组成。实验的光源系统是功率为3W的激光器。激光器发射的点光源通过0.5mm厚度的激光器展片投射到水槽的x-z平面。实验中用到的示踪粒子为聚苯乙烯粉末，密度为1040kg/m³，在实验拍摄期间示踪粒子的沉降速度与内波引起的速度相比可忽略不计。利用CCD摄像机对实验图像进行拍摄: CCD相机的分辨率为1600×1200，对应的实际拍摄面积为48cm× 36cm。对于每次实验，在圆柱振荡10个周期后进行图像采集，此时内波流速到达稳定; 采集8个周期的内波流速，每个周期采集20张图像。

1.2 数据分析

对于CCD采集的图像，利用PIVlab程序包进行处理(Thielicke et al，2014)。PIVlab利用交互相关法分析相邻两张图像，进而确定每个子窗口内部粒子的平均位移。本实验中每个子窗口的大小为32个像素点。接下来将分析得到的流场数据插值到标准的网格点上，网格点水平和垂直方向的分辨率均为0.25cm。

因为实验中仅采用振荡地形作为强迫源，所以激发内波的能量主要集中在强迫频率内，如图 2所示。为了更好地展示实验结果，提取出强迫频率内x方向和z方向的内波的流速u₁、w₁:

其中u₀、w₀分别为x方向和z方向内波流速的振幅，ω₁为强迫频率，Φ_u、Φ_w为各自流速的初始相位。u₀、w₀、Φ_u和Φ_w通过最小二乘法得到。为了便于比较实验结果，定义了归一化流速$\overline{{{u}_{1}}}=\frac{{{u}_{1}}}{{{U}_{0}}}$和$\overline{{{w}_{1}}}=\frac{{{w}_{1}}}{{{U}_{0}}}$，其中U₀为不同实验的正压潮流速振幅。结合参考Wang等(2015)，给出内波的归一化强度<E₁>:

其中u₁和w₁为归一化内波流速，< >运算符表示对内波归一化动能进行周期平均。

2 结果与讨论 2.1 内波归一化流速的空间分布

小粗糙地形下归一化内波流速矢量图(图 3)给出了在一个正压潮周期内内波流速空间分布。图 3a，b，c，d为u₁在不同时刻的空间分布; 图 3e，f，g，h为w₁在不同时刻的空间分布。正压潮的相位由图中蓝线上的红色圆点标明。从图 3可以发现在地形粗糙和光滑一侧均产生了明显的内波射线。内波射线与水平面的夹角为26.5°，与理论预测值相符合。由内波频散关系可知$\frac{{{w}_{1}}}{{{u}_{1}}}=\text{tan(26}\text{.}{{\text{5}}^{\text{o}}}\text{)}\approx 0.5$，所以内波水平流速u₁明显强于垂向流速w₁。在地形两侧均有共振内波生成，内波射线相位向下传播，因此内波能量由陆架地形处向其上方传播。由粗糙地形一侧生成内波的流速明显弱于光滑一侧。在正压潮流流速绝对值最大时刻(图 3b，d，f，h)，粗糙地形上内波流速明显减弱。粗糙地形生成内波的流速比光滑一侧弱的原因，一方面可能是因为在光滑地形一侧内波引起水质点的运动方向与地形斜面平行，因此内波能够在地形上发生共振(Zhang et al，2008)，但是粗糙地形的出现使得内波质点的运动方向不再与地形斜面处处平行，因此共振效应受到抑制，内波能量减弱; 另一方面可能是因为粗糙地形增大了内波和地形的接触面积，地形的底摩擦效应造成内波能量减弱。

图 4给出了大粗糙度地形条件下内波归一化流速矢量图。粗糙地形一侧生成内波的流速依然小于光滑一侧，这与小粗糙度地形一致。两种粗糙地形下生成内波的最大区别出现在粗糙地形的间断点上——大粗糙地形上的每一个间断点变成了一个新的内波射线生成源，在粗糙地形一侧出现了四条明显的内波射线。这些内波射线的相位落后于由陆架地形共振生成的内波射线。在正压潮流流速的最大时刻(图 4b，d，f，h)，粗糙地形上内波流速减弱，但地形间断点上出现了内波能量相对增强的区域。

2.2 内波的归一化强度<E₁>

利用公式(5)得到了由不同粗糙度地形生成内波的归一化强度<E₁>的空间分布(图 5)。在小粗糙地形上(图 5a)，内波在光滑地形一侧发生共振，共振生成的内波强度可以达到正压潮强度的2倍以上。在粗糙地形一侧，内波强度明显减弱，量值约和正压潮强度相当。在大粗糙地形上(图 5b)，由光滑地形和粗糙地形一侧生成的共振内波强度基本不发生变化。然而与内波归一化流速(图 4)相对应的是，在大粗糙度地形上的凸形间断点处生成了明显的内波射线，这与Wang等(2012)在陆架地形坡度变化剧烈处发现的内波射线相同。内波射线仅从地形上的凸形间断点处生成，在凹形间断点处则没有内波射线。

为了比较不同粗糙度地形上生成内波的强度<E₁>，我们在距离陆架8cm的位置定义了4条平行于陆架的线段，分别记为线段1、线段2、线段3、线段4，如图 4所示。这四条线段的位置既离开了内波顶部的非线性区域，又可以充分描述每条内波射线的强度。四条线段上内波强度<E₁>的变化如图 6所示。小(大)粗糙度地形粗糙和光滑一侧共振生成内波的最大强度<E₁>分别为用点A(B)和点C(D)标记，量值为0.87(1.17)和2.39(2.79)，两者比值为37%(42%)。对于大粗糙度地形一侧(图 4中线段4)，凸形间断点的上方出现了内波能量的4个极大值点 E、F、G、H，内波强度<E₁>分别为0.31、0.36、0.27和0.19，平均强度可以达到为共振内波点(D)强度的13%。

2.3 内波归一化流速的时间变化

利用图 6中各点流速的时间序列，我们得到不同内波射线上归一化流速u₁随时间的变化(图 7)。由图 7a我们发现在小粗糙地形条件下，由粗糙和光滑地形产生的共振内波仅落后于正压潮$\frac{1}{7}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$个相位，但是在大粗糙地形条件下，共振内波的相位(B)落后正压潮达到$\frac{1}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$个相位。另一方面在大粗糙地形上生成的新内波射线(E，F，G，H)相位基本一致，但与共振内波的相位存在明显差异(如图 7b)。由地形奇异点生成的内波射线落后正压潮约$\frac{3}{5}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$个相位。这说明地形奇异点上生成的内波并不是由正压潮流直接激发生成的，其产生和粗糙地形上的共振内波有关。如图 4a，b所示，当粗糙地形上的共振内波的相位向下传递到地形奇异点时激发生成了新的内波射线。大粗糙地形上方内波射线相位的差异也造成了其上方内波流速剪

切强于小粗糙地形上方区域。图 8为小粗糙地形和大粗糙地形上x=15cm处的归一化流速和速度剪切的瞬时垂向剖面图，对应于图 3d和图 4d的正压潮正向流速最大时刻。由图可知在大粗糙地形上内波速度垂向剪切明显强于小粗糙地形，因此在大粗糙地形上水体更容易发生混合。但是在实验室中，由于正压潮振幅较小，两种粗糙地形上的Richardson数均大于$\frac{1}{4}$，剪切流体仍处于稳定状态。

2.4 地形粗糙度与粘性边界层厚度

黏性边界层厚度是影响粗糙地形上内波生成的重要因素之一。黏性边界层厚度δ由式(6)给出

其中γ为流体运动学黏性系数，L为地形水平尺度，U₀为正压潮流流速。由式(6)可以计算出在本实验中，黏性边界层厚度约为1.3cm。对于小粗糙度地形，振幅小于黏性边界层厚度，因此粗糙地形上的间断点没有成为新的内波生成源点。而对于大粗糙度地形，由于其振幅大于黏性边界层厚度，因此在粗糙地形上有新的内波生成。对于海洋陆架地形上的沙丘和凸凹地型(Ashley，1990)等粗糙地形，其粗糙度大于海洋中黏性边界层厚度，因此将对陆架上的内波的生成产生重要影响。

3 结论与展望

本文通过实验室研究的方法定量分析了粗糙地形对内波共振生成的影响，得出以下结论:

(1) 粗糙地形对陆架上共振内波的生成有显著的影响。粗糙地形一侧生成内波的强度约为光滑地形一侧生成内波强度的40%。共振内波与正压潮流的相位基本一致，仅落后于正压潮个$\frac{1}{7}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$相位。但当粗糙地形振幅增加时，共振内波与正压潮流的相位差可以达到$\frac{1}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$个相位。

(2) 当地形的粗糙度小于黏性边界层厚度δ时，陆架地形上只有共振内波生成。但是当粗糙度大于黏性边界层厚度时，陆架上存在两种内波生成机制，一种是共振内波生成机制，另一种是奇点生成机制。陆架上的凸形间断点将变为新的内波生成点。新生成内波射线的最大强度<E₁>约为共振内波强度的$\frac{1}{10}$，相位落后于正压潮$\frac{3}{5}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$个相位。

(3) 对于真实海洋中的陆架地形，当粗糙地形尺度大于海洋黏性边界层时将出现新的内波生成源点。由地形奇异点生成的内波将造成陆架上内波流速剪切加强，当正压潮振幅足够大时内波可能会发生破碎，因此对陆架上水体的混合有重要影响。